シリコンの結晶構造：1 cm³に約5×10²²個の原子が並ぶ

シリコンはダイヤモンド構造の結晶で、立方体の単位格子に8個の原子が入る。格子定数0.543 nmから、原子の数密度と最も近い原子の間隔を求める。不純物を1 cm³あたり1×10¹⁷個加えても、原子約50万個に1個にすぎないことを、数密度から見積もる。

式

シリコンは、ダイヤモンド構造の結晶である。立方体の単位格子の一辺 $a$ を格子定数といい、シリコンでは $a=5.43$ Å（0.543 nm）である^[1]。単位格子に入る原子は $N_{\text{cell}}=8$ 個で、面心立方の並びが2組、ずれて重なっている（4個と4個）^[1]。$n$ は原子の数密度である。面心立方の最小の単位（基本格子）の体積は $a^3/4$ になる^[1]。

式のどこを見るか

見るのは、格子定数 $a$ が3乗で入っていることである。$a$ が1％変わると、数密度は約3％変わる。

もう1つは、格子定数と、原子どうしの間隔の違いである。結合の長さ（最も近い原子との距離）は2.35 Å で、格子定数5.43 Å とは別の量である^[1]。この2つは、$d=\sqrt{3}a/4$ の関係にある（本サイトで計算）。

基本格子の体積は単位格子の4分の1なので、基本格子に入る原子は $8/4=2$ 個である（本サイトで計算）。

数値例

$a=5.43$ Å $=5.43\times {10}^{-8}$ cm を入れると、数密度は $8/a^3$ から約 $5.0\times {10}^{22}$ cm⁻³ になる（本サイトで計算）。出典の資料でも、約 $5\times {10}^{22}$ 個と見積もっている^[1]。

$d=\sqrt{3}a/4$ からは約2.35 Å になり、出典の値と一致する（本サイトで計算）。基本格子の体積は約40 ų である（本サイトで計算）。

ドーパントを $1\times {10}^{17}$ cm⁻³ 加えた場合、原子約 $5.0\times {10}^5$ 個（約50万個）に1個の割合である（本サイトで計算）。結晶の中のほとんどは、シリコン原子のままである。