逆格子とブリルアンゾーン：シリコンの伝導帯の底は、Γ点からX点までの約85％にある

結晶の波数の世界を表す逆格子と、その基本の領域であるブリルアンゾーンを、シリコンで読む。面心立方の結晶の逆格子は体心立方で、格子定数0.543 nmから、Γ点、L点、X点の波数の大きさを求め、伝導帯の底の位置を波数の値で確かめる。

式

$𝐑$ は結晶の格子点を結ぶベクトル、$𝐆$ は逆格子ベクトルで、すべての $𝐑$ に対して、内積が $2\pi$ の整数倍になるものをいう^[2]。逆格子の点が並ぶ空間は、波数 $𝐤$ の空間である。

シリコンのような面心立方の結晶の逆格子は、体心立方になる^[1]。その基本の領域がブリルアンゾーンで、体心立方の格子点の周りの領域（ウィグナー・ザイツセル）として、切頭八面体の形になる^[1]。

式のどこを見るか

見るのは、ゾーンの特別な点である。$\mathrm{\Gamma }$ 点は原点（$k=0$）、$X$ 点は $(\mathrm{1,0,0})$、$L$ 点は $(1/\mathrm{2,1}/\mathrm{2,1}/2)$ の位置にある（単位は $2\pi /a$）^[1]。$X$ 点は正方形の面の中心、$L$ 点は六角形の面の中心である^[1]。$\mathrm{\Gamma }$ から $X$ までの距離は $2\pi /a$ で、$\mathrm{\Gamma }$ から $L$ までは $\sqrt{3}/2$ 倍になる（本サイトで計算）。

シリコンの伝導帯の底は、$\mathrm{\Gamma }$ 点ではなく、$\mathrm{\Gamma }$ から $X$ に向かう $⟨100⟩$ 方向の約85％の位置にある^[1]。同じ形の谷が、$[100]$、$[010]$、$[001]$ とその反対向きで、全部で6個ある^[1]。

$k=2\pi /a$ に対応する電子波の波長は、$\lambda =2\pi /k=a$ で、格子定数に等しい（本サイトで計算）。

数値例

格子定数 $a=5.43$ Å（0.543 nm）^[3]を入れると、$2\pi /a$ は約11.57 nm⁻¹ になる（本サイトで計算）。

$X$ 点の波数は約11.57 nm⁻¹、$L$ 点は約10.02 nm⁻¹ である（本サイトで計算）。伝導帯の底は、$X$ 点の約85％で、約9.84 nm⁻¹ になる（本サイトで計算。約85％は出典の記述で、概数である）。