pn接合の内蔵電位：lnの中の濃度

pn接合の内側にできる電位差（内蔵電位）の式から、不純物の濃度を10倍にしても電位差が少ししか変わらない理由と、温度や材料で電位差が変わる理由を読む。シリコンの値で、濃度ごとの電位差を計算する。

式

$V_{bi}$ は内蔵電位（拡散電位）で、電圧をかけていないpn接合の内側に、ひとりでにできる電位差である。$N_a$ はp型の側のアクセプタの濃度、$N_d$ はn型の側のドナーの濃度、$n_i$ は真性キャリア濃度である。$k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度、$q$ は電子1個の電荷の大きさである。

前に付く $kT/q$ は、熱のエネルギーを電圧に直した量で、熱電圧と呼ばれる。

式のどこを見るか

まず見るのは、濃度が ln（自然対数）の中にあることである。ln の中が10倍になっても、ln の値は約2.3しか増えない。そのため、$N_a$ か $N_d$ を10倍にしても、$V_{bi}$ は熱電圧の約2.3倍だけしか増えない。濃度を何桁も変えても、電位差は大きくは動かない。シリコンのpn接合の電位差が、濃度によらずだいたい同じくらいの値に収まるのは、このためである。

次に見るのは、分母の $n_i^2$ である。$n_i$ は、バンドギャップが大きいほど桁違いに小さい（「真性キャリア濃度と温度」のページ）。分母が小さいと ln の値は大きくなる。バンドギャップの大きい材料のpn接合ほど、内蔵電位は大きい。

温度の効き方は、2か所にある。前の $kT/q$ は温度に比例して大きくなる。一方、分母の $n_i^2$ は温度とともに桁で増える。差し引きでは、分母の増え方が勝ち、温度が上がると内蔵電位は小さくなる。

内蔵電位は、外から電圧計を当てても測れない。金属の電極との境目にも電位差ができ、回路を一周すると打ち消し合うためである。順方向に電圧をかけると、この電位差の山が低くなり、電流が流れ始める。

数値例

300 Kの熱電圧は、ボルツマン定数と電気素量^[2]から約25.9 mVになる（本サイトで計算）。シリコンの $n_i$ は300 Kで $9.65\times {10}^9$ cm${}^{-3}$ とする^[1]。

$N_a$ と $N_d$ をともに $1\times {10}^{16}$ cm${}^{-3}$ とすると、$V_{bi}$ は約0.72 Vになる（本サイトで計算）。

p型の側だけ10倍の $1\times {10}^{17}$ cm${}^{-3}$ にすると、$V_{bi}$ は約0.78 Vになる。増えるのは約60 mVだけである。両側とも $1\times {10}^{17}$ cm${}^{-3}$ にしても、約0.84 Vにとどまる（いずれも本サイトで計算）。