空乏層と電界：電圧で広がる幅と、耐圧の目安

pn接合の空乏層の幅が、不純物の濃度と電圧でどう決まるかを式から読む。逆方向の電圧で幅が広がり、電界の最大値も増える。シリコンの例で幅と電界を求め、絶縁破壊電界から耐圧の目安を見積もる。

式

$W$ は空乏層の全体の幅、$ϵ$ は半導体の誘電率、$N_A$ と $N_D$ はアクセプタとドナーの濃度、$V_{bi}$ は内蔵電位、$V$ は外からかけた電圧（順方向を正）、$q$ は電気素量である^[1]。

空乏層の最大の電界は、n型の側の端までの幅 $x_n$ を使って、次のように表せる^[1]。

式のどこを見るか

見るのは、平方根の中の $V_{bi}-V$ である。逆方向の電圧をかけると $V$ が負になり、$V_{bi}-V$ が大きくなって、幅 $W$ が広がる。電圧が4倍になれば、幅は約2倍である。

濃度は、分母に入っている。濃度が高いほど、幅は狭い。濃度が低い側ほど、空乏層は深くまで広がる^[1]。

電界の最大値 $E_{max}$ も、逆方向の電圧とともに大きくなる。この電界が、材料の絶縁破壊電界に達すると、電流が急に流れ始める。そこまでの電圧が、耐圧の目安になる。

片側の濃度がもう片側よりずっと低いpn接合では、近似で、$E_{max}=\sqrt{2qN(V_{bi}-V)/ϵ}$ となり、耐圧は $ϵE_c^2/(2qN)$ で見積もれる。ここで $N$ は濃度の低い側の濃度、$E_c$ は絶縁破壊電界である。濃度を下げるほど、耐圧は高くなる。

数値例

シリコンの比誘電率は11.9である^[2]。真空の誘電率と電気素量の値は、NISTの値^[3]を使う。

$N_A=N_D={10}^{16}$ cm${}^{-3}$、$V_{bi}=0.72$ V（「内蔵電位」のページの値）とする。電圧がかかっていないとき、空乏層の幅は約0.44 μm、$E_{max}$ は約 $3.3\times {10}^4$ V/cm である。逆方向に5 V かけると、幅は約1.2 μm、$E_{max}$ は約 $9.3\times {10}^4$ V/cm に増える（本サイトで計算）。

シリコンの絶縁破壊電界の目安は、$3.0\times {10}^5$ V/cm である^[4]。この値と、片側の濃度 ${10}^{16}$ cm${}^{-3}$ の近似式から、耐圧の目安は約30 V になる。濃度を ${10}^{15}$ cm${}^{-3}$ に下げると約300 V、${10}^{17}$ cm${}^{-3}$ に上げると約3 V である（本サイトで計算）。濃度が10分の1になると、耐圧は10倍になる。

絶縁破壊電界は、濃度などによっても変わるため、この耐圧は目安として読む。