ドリフトと拡散：キャリアが動く二つの理由

キャリアの電流が、電界によるドリフトと、濃度の差による拡散の二つで決まることを、式から読む。移動度と拡散係数がアインシュタインの関係で結ばれることを、シリコンの電子と正孔の値で確かめる。

式

$J$ は電子による電流密度、$q$ は電気素量、$n$ は電子の濃度、$E$ は電界、$x$ は位置である^[1]。${\mu }_n$ は電子の移動度で、電界1の単位あたりの速さの比例定数である。$D_n$ は拡散係数である。

第1項がドリフト（電界で動く電流）、第2項が拡散（濃度の高いほうから低いほうへ動く電流）である。

移動度と拡散係数は、アインシュタインの関係で結ばれる^[1]。

式のどこを見るか

見るのは、電流が二つの項の和であることである。電界がなければ第1項は0になり、濃度が一様なら第2項が0になる。pn接合では、濃度の差が大きいため、拡散の項が大きい。

ドリフトの速さは、$v=\mu E$ である^[1]。移動度が大きいほど、同じ電界で速く動く。電界が強くなると、速さは一定の値に近づき、この比例は成り立たなくなる^[1]。

アインシュタインの関係は、移動度が大きい材料は、拡散も速いことを示す。比例定数 $kT/q$ は熱電圧で、熱のエネルギーを電圧に直した量である。

導電率は、$\sigma =qn{\mu }_n+qp{\mu }_p$ で、その逆数が抵抗率である^[1]。電子と正孔の両方が、電流に寄与する。

数値例

300 Kの熱電圧は、ボルツマン定数と電気素量^[2]から、約25.9 mV である（本サイトで計算）。

シリコンの移動度は、電子が1,400 cm${}^2$/(V·s)、正孔が470 cm${}^2$/(V·s) である^[1]。アインシュタインの関係から、拡散係数は、電子が約36 cm${}^2$/s、正孔が約12 cm${}^2$/s になる（本サイトで計算）。

電界が ${10}^3$ V/cm のとき、電子のドリフトの速さは $1.4\times {10}^6$ cm/s である^[1]。1 μm（${10}^{-4}$ cm）進むのにかかる時間は約71 ps（ピコ秒）である（本サイトで計算）。

電子の濃度が ${10}^{16}$ cm${}^{-3}$ のとき、導電率は約2.2 S/cm、抵抗率は約0.45 Ω·cm である。正孔なら約0.75 S/cm、約1.3 Ω·cm である（本サイトで計算）。ただし、移動度は不純物の濃度でも変わるため、この計算は、上の移動度の値をそのまま使った目安である。