熱設計と接合温度：消費電力が温度に変わる式

半導体が消費する電力は熱になり、素子の内部の温度（接合温度）を上げる。熱抵抗を使った接合温度の式と、シリコンのチップ自体の熱抵抗の見積もりから、温度上昇を決める量を読む。

式

$T_j$ は接合温度で、素子の内部の温度である。$T_a$ は周囲の温度、$P$ は素子が消費する電力、$R_{th(j\text{-}a)}$ は接合から周囲までの熱抵抗（単位は ℃/W）である^[1]。右辺の第2項が、温度の上昇分 $\mathrm{\Delta }{T}_j$ にあたる^[1]。

熱抵抗は、データシートの絶対最大定格から、次のように求められる^[1]。

$T_{j(max)}$ は最大の接合温度、$P_C$ は周囲25℃での許容損失である^[1]。

式のどこを見るか

見るのは、$R_{th}$ が温度の上昇分を決めていることである。電力 $P$ が同じでも、$R_{th}$ が大きいほど、素子の内部は高温になる。$R_{th}$ が1 ℃/W なら、1 W の消費で1 ℃上がる。

温度の上昇は、熱の流れる道筋の熱抵抗の合計で決まる。素子が放熱板に取り付けてあるときは、接合からケースまでの熱抵抗 $R_{th(j\text{-}c)}$ を使う^[1]。

素材そのものの熱抵抗は、厚さ $L$、断面積 $A$、熱伝導率 $\kappa$ から、次のように見積もれる。

シリコンのチップ自身の熱抵抗は、この式で見積もれる（数値例）。

接合温度は、信頼性にも関わる。温度が上がると、劣化の進みが速くなる（「アレニウス則」「加速試験」のページ）。

数値例

シリコンの熱伝導率は、1.5 W/(cm·K) である^[2]。面積1 cm${}^2$、厚さ0.05 cm（0.5 mm）のチップの熱抵抗は、$R=0.05/(1.5\times 1)$ から、約0.033 ℃/W になる（本サイトで計算）。1 W を消費しても、チップの表と裏の差は約0.03 ℃である。次の仮定の値（100 ℃/W）に比べて、桁違いに小さい。

接合温度の式は、次の仮定の値で確かめる。データシートの値を、$T_{j(max)}=150$ ℃、$P_C=1.25$ W と仮定すると、$R_{th(j\text{-}a)}=(150-25)/1.25=100$ ℃/W になる。周囲が60 ℃、消費電力が0.5 W のとき、温度の上昇は $100\times 0.5=50$ ℃で、$T_j=110$ ℃ である（いずれも本サイトで計算）。

この例の数値は、式の読み方を確かめるために置いた仮定である。実際の製品の値ではない。