フォノンと熱伝導：温度で変わる、熱の運ばれ方

半導体の中で熱を運ぶのは、主に結晶の原子の振動の粒（フォノン）である。熱伝導率を、熱容量、速さ、平均自由行程の積で表す式から、低温では温度の3乗、高温では温度に反比例する理由を読み、シリコンの値で温度の影響を見積もる。

式

$\kappa$ は熱伝導率、$C_v$ は単位体積あたりの熱容量、$v$ はフォノンの速さ（音速）、$\ell$ はフォノンが散乱されずに進める平均の距離（平均自由行程）である^[1]。熱の伝わりを、フォノンという粒の拡散として見た式である^[1]。

式のどこを見るか

見るのは、$C_v$ と $\ell$ が温度で変わることである。$v$ は、温度にあまり依存しない。

高い温度では、フォノンの数が温度とともに増え、フォノンどうしがぶつかる回数が増える。そのため、平均自由行程 $\ell$ は温度に反比例して短くなり、熱伝導率は温度にほぼ反比例して下がる^[1]。このとき、結晶の並びの周期を超えて運動量を渡す過程（ウムクラップ過程）が、熱の流れを妨げる主な原因になる^[1]。

低い温度では、結晶の欠陥、境界、同位体がフォノンを散乱する。この散乱は温度によらないため、$\ell$ は一定になり、熱伝導率は熱容量に比例して、温度の3乗で変わる^[1]。

したがって、熱伝導率は、低温で温度の3乗で増え、あるところで最大になり、高温では温度に反比例して下がる^[1]。同位体をそろえたシリコンでは、この三つの領域が見える^[1]。

数値例

シリコンの室温の熱伝導率は、1.5 W/(cm·K)（150 W/(m·K)）である^[2]。

高温の領域で、熱伝導率が温度にほぼ反比例するとして、300 K から 400 K に温度が上がったときの値を見積もる。熱伝導率は $300/400=0.75$ 倍になり、約1.1 W/(cm·K) になる（本サイトで計算）。この見積もりは、反比例の近似に基づく目安である。

「熱設計と接合温度」のページで見たとおり、面積1 cm${}^2$、厚さ0.5 mmのチップの熱抵抗は、1.5 W/(cm·K) で約0.033 ℃/W である。熱伝導率が0.75倍になると、熱抵抗は約1.33倍の約0.044 ℃/W になる（本サイトで計算）。