フェルミ分布：電子の席の埋まり方と、フェルミ準位

電子がエネルギーの席をどんな確率で埋めるかを表すフェルミ分布の式から、フェルミ準位の意味と、伝導帯の電子の濃度が指数で決まることを読む。シリコンで、濃度を10倍にするとフェルミ準位が約60 meV動くことを確かめる。

式

$f(E)$ は、エネルギー $E$ の席が電子で埋まっている確率である^[1]。$E_F$ はフェルミ準位、$k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度である。$E=E_F$ のとき、$f=1/2$ になる。

伝導帯の底 $E_C$ が $E_F$ よりも $kT$ の何倍も上にあるとき、伝導帯の電子の濃度は、次の形で近似できる^[1]。

$N_c$ は伝導帯の実効状態密度で、電子が入れる席の数の目安である。

式のどこを見るか

見るのは、$(E-E_F)/kT$ である。$E$ が $E_F$ より高いほど、この値は大きくなり、席が埋まる確率は小さくなる。$E$ が $E_F$ より低ければ、確率は1に近づく。

$E$ が $E_F$ より $kT$ の数倍以上高い領域では、分母の1が小さくなり、式は指数の形に近づく。近似の式の $\exp$ は、この領域の式である^[1]。濃度が $N_c$ に比べてずっと小さいときに成り立つ^[1]。

近似の式から、濃度 $n$ と $E_C-E_F$ の関係は、指数と対数で結ばれる。濃度が10倍になるたび、$E_C-E_F$ は $kT\ln 10$ だけ縮む。ドーピングで電子を増やすことは、フェルミ準位を伝導帯に近づけることと、同じ意味である。

フェルミ準位は、電子が実際にいるエネルギーの席ではなく、確率が1/2になる基準の位置である。バンドギャップの中に、席がなくても置ける。

数値例

300 Kでは、ボルツマン定数 $8.617\times {10}^{-5}$ eV/K^[2]から、$kT$ は約0.0259 eV（25.9 meV）になる（本サイトで計算）。

$E-E_F=kT$ の席が埋まっている確率は約0.27、0.1 eV 高い席では約0.020、0.56 eV 高い席（シリコンのバンドギャップ1.12 eV の半分）では約 $4\times {10}^{-10}$ になる（本サイトで計算）。

シリコンの $N_c$ は300 Kで約 $2.9\times {10}^{19}$ cm${}^{-3}$ である^[1]。電子の濃度を ${10}^{16}$ cm${}^{-3}$ にするには、$E_C-E_F=kT\ln (N_c/n)$ から、約0.206 eV だけ、$E_F$ が伝導帯の底より下にあればよい。濃度を ${10}^{17}$ cm${}^{-3}$ に10倍にすると約0.147 eV、${10}^{18}$ cm${}^{-3}$ では約0.087 eV になる（本サイトで計算）。10倍ごとに約60 meV（$kT\ln 10$）ずつ近づく。