有効質量と状態密度：バンドの曲がりが、電子の入れる席の数を決める

結晶の中の電子が、電界に対して軽く動くか重く動くかを表す有効質量が、バンドの曲がり具合で決まることを式から読む。有効質量が実効状態密度に3/2乗で効くことを、シリコンとヒ化ガリウムの値で確かめる。

式

$m^{\ast }$ は有効質量、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割った量、$E$ は電子のエネルギー、$k$ は結晶の中での電子の波数（運動量に比例する量）である^[1]。有効質量は、電子が結晶の中で電界を受けたとき、どれだけ加速されやすいかを表す。

有効質量は、実効状態密度にも入る^[1]。

$N_c$ は伝導帯の実効状態密度で、電子が入れる席の数の目安である。正孔の側の $N_v$ にも、同じ形の式が使われる^[1]。

式のどこを見るか

最初に見るのは、分母の $d^{2}E/d{k}^2$ である。これは、バンドの曲がり具合を表す。曲がりが急なバンドほど、有効質量は小さい。平らなバンドほど、有効質量は大きい^[1]。有効質量が小さい電子は、同じ電界で、大きく加速される。

次に見るのは、$N_c$ の中の $m^{\ast 3/2}$ である。有効質量が大きいほど、$N_c$ は大きくなる^[1]。有効質量が4倍になれば、$N_c$ は8倍になる。バンドが平らなほど、同じエネルギーの範囲に、電子が入れる席が多い。

$N_c$ は、温度の $3/2$ 乗にも比例する。温度が上がるほど、席が増える。

シリコンの伝導帯の底は、結晶の中の6か所にある。そのため、状態密度の有効質量は、1か所分の質量から、谷の数を考えて求める^[3]。

数値例

シリコンの電子の状態密度の有効質量は、真空中の電子の質量 $m_0$ の1.08倍、ヒ化ガリウム（GaAs）は0.067倍である^[2]。$m^{\ast }$ が約16倍も違う。

300 Kの $N_c$ は、シリコンで $2.82\times {10}^{19}$ cm${}^{-3}$、GaAsで $4.37\times {10}^{17}$ cm${}^{-3}$ である^[2]。式で計算し直すと、プランク定数、ボルツマン定数と電子の質量^[4]から、それぞれ約 $2.82\times {10}^{19}$、$4.35\times {10}^{17}$ cm${}^{-3}$ になり、表の値とほぼ一致する（本サイトで計算）。質量が約16倍違うと、$N_c$ は約65倍違う。

前のページ「フェルミ分布」の式で、電子の濃度を ${10}^{17}$ cm${}^{-3}$ にするのに必要な $E_C-E_F$ を比べる。$kT\ln (N_c/n)$ から、シリコンは約0.146 eV、GaAsは約0.038 eV である（本サイトで計算）。GaAsは席が少ないため、少ない電子で、フェルミ準位が伝導帯に近づく。

温度が300 Kから400 K に上がると、$N_c$ は約1.54倍になる（本サイトで計算）。