真性キャリア濃度と温度：指数の中のEgとT

不純物を入れない半導体で熱によって生まれる電子と正孔の濃度（真性キャリア濃度）の式から、温度が上がるとリークが増える理由と、バンドギャップの大きい材料が高い温度で動ける理由を読む。シリコンの値で桁を確かめる。

式

$n_i$ は真性キャリア濃度で、不純物を入れない半導体の中で、熱によって伝導帯に上がった電子の濃度である。価電子帯には同じ数の正孔が残る。$N_c$ と $N_v$ は、伝導帯と価電子帯に電子と正孔が入れる席の数の目安（実効状態密度）である。$E_g$ はバンドギャップ、$k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度である。

$N_c$ と $N_v$ は、それぞれ温度の1.5乗に比例する。まとめると、次の形になる。

式のどこを見るか

見るのは、指数の中の $E_g/2kT$ である。$E_g$ が分子、$T$ が分母にある。指数の外の $T^{3/2}$ も温度で増えるが、指数の変化に比べるとゆるやかで、振る舞いをほぼ決めるのは指数のほうである。

分母に2があるのは、電子と正孔が対で生まれるためである。電子の濃度と正孔の濃度の積が $\exp (-E_g/kT)$ に比例し、$n_i$ はその平方根になる。

温度を上げると、指数の中の値が小さくなり、$n_i$ は桁で増える。不純物を入れた半導体でも、熱で生まれる電子と正孔は同じように増える。pn接合に逆向きの電圧をかけたときに流れる小さな電流（リークの電流）は、この熱で生まれるキャリアが元になる。そのため、温度が上がるとリークが増える。さらに温度が上がり、$n_i$ が不純物の濃度に近づくと、n型とp型の区別が薄れ、素子として働かなくなる。

$E_g$ が大きい材料では、同じ温度でも指数の中の値が大きく、$n_i$ は桁違いに小さい。バンドギャップの大きい炭化ケイ素や窒化ガリウムが、シリコンより高い温度で動ける理由の一つが、ここにある。

数値例

300 Kのシリコンの $n_i$ は $9.65\times {10}^9$ cm${}^{-3}$ で、およそ $1\times {10}^{10}$ cm${}^{-3}$ である^[1]。シリコンの原子は1 cm${}^3$に $5.0\times {10}^{22}$ 個ある^[2]。熱で伝導帯に上がる電子は、原子およそ5兆個に1個という少なさである（本サイトで計算）。

温度の効き方は、PVEducationが示すシリコンの $n_i$ の近似式^[1]で確かめられる。この式で計算すると、300 K（約27℃）から400 K（約127℃）に上げたとき、$n_i$ は約560倍の $5.5\times {10}^{12}$ cm${}^{-3}$ になる（本サイトで計算）。100 Kの差で、2桁以上増える。

材料の違いは、指数の部分だけで比べられる。バンドギャップをシリコン1.12 eV、炭化ケイ素（4H-SiC）3.26 eVとし^[3]、300 Kの $kT$ を約0.026 eV^[4]とする。$N_c$ と $N_v$ の違いを無視して指数の部分だけを比べると、炭化ケイ素の $n_i$ はシリコンの約 ${10}^{-18}$ 倍になる（本サイトで計算）。