拡散長：寿命が100倍長いと、少数キャリアは10倍遠くまで届く

注入された少数キャリアが、結びついて消えるまでに進む距離（拡散長）を、拡散係数と寿命から求める式で読む。拡散長が寿命の平方根で決まること、距離とともに指数で減ることを、移動度1,500 cm²/(V·s)のシリコンの電子で確かめる。

式

$L$ は拡散長で、少数キャリアが生まれてから結びついて消えるまでに進む、平均の距離である^[1]。$D$ は拡散係数、$\tau$ は少数キャリアの寿命である^[1]。$D$ は移動度 $\mu$ と熱電圧 $kT/q$ の積で表せる（アインシュタインの関係）^[2]。

表面でキャリアを生み、内部では生まれないとき、定常状態の過剰なキャリアの濃度 $\delta p$ は、$x$ とともに指数で減る^[2]。

式のどこを見るか

見るのは、$L$ が $\sqrt{\tau }$ に比例することである。寿命が100倍になっても、拡散長は10倍にしかならない。寿命を延ばしても、届く距離は、その平方根でしか伸びない。

もう1つは、指数の形である。距離 $x$ が $L$ に達したところで、過剰なキャリアは約37％（$e^{-1}$）に減る。$2L$ で約13.5％、$3L$ で約5.0％である（本サイトで計算）。キャリアが届く距離の目安は、$L$ の数倍までである。

$D$ は移動度に比例するので、移動度が大きい電子は、同じ寿命でも、正孔より遠くまで届く。

数値例

シリコンの電子の移動度は 1,500 cm²/(V·s) である^[2]。300 Kの熱電圧は、ボルツマン定数と電気素量^[3]から約25.9 mV で、拡散係数は $D\approx 38.8$ cm²/s になる（本サイトで計算）。出典の資料も、約39 cm²/s と見積もっている^[2]。

寿命は、例示のために1 μs と100 μs と仮定する（実際のシリコンの値ではない）。拡散長は、1 μs で約62 μm、100 μs で約620 μm になる（本サイトで計算）。寿命が100倍で、拡散長は10倍である。

なお、結晶シリコン太陽電池では、拡散長は典型的に100〜300 μm とされ、シリコンの寿命は最大で1 ms 程度になりうる^[1]。