量子閉じ込め：井戸の幅を半分にすると、準位は4倍になる

薄い層に電子を閉じ込めると、エネルギーがとびとびの準位になる。壁が無限に高い井戸の式から、準位が井戸の幅の2乗に反比例し、有効質量に反比例することを読む。幅10 nmのヒ化ガリウムの井戸で、準位の値と準位の間隔を確かめる。

式

$L$ は井戸の幅、$m^{\ast }$ は電子の有効質量、$n$ は準位の番号、$\hslash$ は換算プランク定数である^[2]。壁が無限に高い井戸の場合の式である。電子は、この式のとびとびのエネルギーだけを取れる。

式のどこを見るか

見るのは、$L^2$ が分母にあることである。井戸の幅を半分にすると、準位は4倍に上がる。幅が狭いほど、電子は狭い場所に押し込まれ、エネルギーが高くなる。

次に、$m^{\ast }$ が分母にあることである。電子が軽い（有効質量が小さい）材料ほど、同じ幅でも準位は高くなる。有効質量は、「有効質量」のページで見たとおり、バンドの曲がりで決まる。

最後に、$n^2$ が掛かることである。準位の間隔は、上の準位ほど広がる。1番目の準位に対して、2番目は4倍、3番目は9倍である。

この式は無限に高い壁の場合である。実際の井戸の壁は有限の高さで、出典の計算でも、無限井戸は壁の高さを1000 eVと置いて近似している^[1]。

数値例

幅 $L=10$ nm、有効質量 $m^{\ast }=0.0665m_0$（ヒ化ガリウムの電子）の井戸を考える^[1]。換算プランク定数、電子の質量、電気素量^[3]を式に入れると、1番目の準位は約56.5 meV、2番目の準位は約226 meV になる（本サイトで計算）。出典の厳密解も、56.5 meV と 226 meV で、一致した^[1]。

準位の差は約169.6 meV で、出典の厳密解は169.5 meV である^[1]。

同じ有効質量で、幅を5 nm にすると、1番目の準位は約226 meV（4倍）、20 nm にすると約14.1 meV（4分の1）になる（本サイトで計算）。