吸収係数と侵入長：光はシリコンの中をどこまで進むか

光が材料の中で弱まる様子を表す吸収係数の式から、光が1/eに弱まる深さである侵入長を読む。シリコンで波長が長いほど深くまで届くことを、400 nmから1,100 nmの値で確かめ、10 μmの層でどれだけ吸収されるかを見積もる。

式

$I_0$ は表面での光の強さ、$I(x)$ は表面から深さ $x$ に届いた光の強さである。$\alpha$ は吸収係数で、材料と波長で決まり、単位は cm${}^{-1}$ を使う^[2]。光は、深さとともに指数関数の形で弱まる。

光が表面の約36%（$1/e$）に弱まる深さを、侵入長と呼ぶ^[3]。

吸収係数は、光の波長 $\lambda$ と、材料の消衰係数 $k$ から $\alpha =4\pi k/\lambda$ と表せる^[2]。

式のどこを見るか

見るのは、指数の中の $\alpha x$ である。$\alpha$ が大きいほど、浅いところで光が吸収される。侵入長 $1/\alpha$ は、その深さの目安になる。

半導体の $\alpha$ は、波長で桁違いに変わる。バンドギャップより光子のエネルギーが小さい光は、価電子帯の電子を持ち上げられないので、吸収されにくい^[2]。バンドギャップの付近では、光に反応できる電子が限られるため、吸収は弱い。光子のエネルギーが大きくなるほど、反応できる電子が増え、吸収は強まる^[2]。

したがって、波長が短いほど表面の近くで吸収され、波長が長いほど深くまで届く。

層の厚さ $d$ で吸収される割合は、$1-\exp (-\alpha d)$ で求められる。光を電気に変える部品では、必要な厚さがこの式で見積もれる。

数値例

300 Kのシリコンの吸収係数は、400 nmで $9.52\times {10}^4$ cm${}^{-1}$、600 nmで $4.14\times {10}^3$ cm${}^{-1}$、800 nmで $8.5\times {10}^2$ cm${}^{-1}$、1,000 nmで $6.4\times {10}^1$ cm${}^{-1}$、1,100 nmで 3.5 cm${}^{-1}$ である^[1]。

侵入長 $1/\alpha$ は、400 nmで約0.11 μm、600 nmで約2.4 μm、800 nmで約12 μm、900 nmで約33 μm、1,000 nmで約160 μm、1,100 nmで約2.9 mm になる（本サイトで計算）。波長が2.5倍になるだけで、侵入長は4桁以上長くなる。

厚さ10 μmの層で吸収される割合は、600 nmで約98%、800 nmで約57%、900 nmで約26%、1,000 nmで約6%である（本サイトで計算）。波長の短い光は薄い層でほぼ吸収され、波長の長い光は、10 μmでは大半が通り抜ける。