拡散：Dt で決まる、不純物の広がり

熱処理でドーパントがどこまで広がるかを、フィックの法則と拡散距離の目安 2√(Dt) から読む。時間を4倍にすると距離は2倍になること、温度の影響が時間より大きいことを、ホウ素とヒ素の値で確かめる。

式

$J$ は、単位面積を単位時間に通る原子の数（流れ）である。$C$ は不純物の濃度、$x$ は表面からの深さ、$D$ は拡散係数である。マイナスの符号は、濃度の高いほうから低いほうへ流れることを表す。これがフィックの第一法則である。

この法則から、不純物が広がる距離の目安が得られる。

$L$ は拡散距離、$t$ は熱を加えた時間である。$D$ の単位は cm${}^2$/s なので、$Dt$ の平方根は長さになる。

式のどこを見るか

見るのは、平方根である。距離は時間に比例せず、時間の平方根に比例する。時間を4倍にしても、距離は2倍にしかならない。拡散は、始めの数分で大きく進み、あとは進み方が鈍る。

もう一つは、積 $Dt$ である。広がりを決めるのは、$D$ と $t$ の積だけである。熱処理を何段階かに分けるときは、各段階の $Dt$ を足し合わせて、全体の広がりを見積もる^[1]。

$D$ は温度で指数関数的に変わる（「アレニウス則」のページ）。時間は平方根でしか効かないが、温度は指数で効く。そのため、広がりを抑えたいときは、時間を短くするより、温度を下げるほうが効果が大きい。

微細なトランジスタで、熱処理を高温で短時間にするのは、この関係による。時間を短くして $Dt$ を小さくし、ドーパントの位置のずれを抑えている。

数値例

ボルツマン定数は $8.617\times {10}^{-5}$ eV/K である^[2]。シリコン中の拡散係数は、ホウ素が $D_0=1.0$ cm${}^2$/s、$E_a=3.5$ eV、ヒ素が $D_0=9.17$ cm${}^2$/s、$E_a=3.99$ eV で表される^[1]。

これらの値で計算すると、1,000℃でのホウ素の $D$ は約 $1.4\times {10}^{-14}$ cm${}^2$/s、ヒ素は約 $1.5\times {10}^{-15}$ cm${}^2$/s である（本サイトで計算）。

1時間（3,600秒）の熱処理での $L=2\sqrt{Dt}$ は、1,000℃でホウ素が約0.14 μm（140 nm）、ヒ素が約0.046 μm（46 nm）になる（本サイトで計算）。同じ時間で、ホウ素のほうがヒ素より約3倍遠くまで広がる。

温度を1,100℃に上げると、1時間でのホウ素の距離は約0.45 μm、1,200℃では約1.2 μmになる（本サイトで計算）。温度を200℃上げると、距離は約9倍になる。

これらは、濃度が低い場合の値である。濃度が高いと $D$ が大きくなることがあるが、本ページでは扱わない。