MOSFETの電流：ゲートの電圧の2乗で増え、下限は60 mV/桁

MOSFETのドレイン電流が、ゲートの電圧としきい値の差の2乗で決まることを式から読む。しきい値より下では電流が指数で減り、室温で電圧が約60 mV下がるごとに10分の1になるという、原理の下限も確かめる。

式

$I_D$ はドレイン電流、$\mu$ はチャネルの電子の移動度、$C_{ox}$ は酸化膜の単位面積あたりの容量である。$W$ はチャネルの幅、$L$ は長さ、$V_{GS}$ はゲートとソースの間の電圧、$V_T$ はしきい値電圧である。これは、ドレインの電圧が十分に高い飽和領域の式である^[1][2]。

しきい値より下では、電流は指数で減る。ゲートの電圧を $V_{GS}$ から下げたとき、電流が10倍小さくなるのに必要な電圧 $S$ は、次の形で表せる^[3]。

$C_{depl}$ は空乏層の容量で、$m$ は1以上である^[3]。

式のどこを見るか

見るのは、${(V_{GS}-V_T)}^2$ である。しきい値を超えた電圧が2倍になると、電流は4倍になる。電圧を上げるほど、電流は急に増える。

次に、$\mu C_{ox}W/L$ である。幅を広げるか、長さを縮めると、電流が増える。酸化膜を薄くして $C_{ox}$ を大きくしても、同じである。

トランジスタをスイッチに使うとき、オフのときの電流を、小さく抑えたい。しきい値より下の電流が、ゲートの電圧 $S$ ごとに10分の1になる。$S$ が小さいほど、短い電圧の変化でオフにできる。

$m$ は1より小さくならないため、$S$ には下限がある。$m=1$ のとき $S=(kT/q)\ln 10$ で、300 Kで約60 mV/桁になる^[3]。これはボルツマン限界と呼ばれ、通常のトランジスタの原理的な下限である^[3]。

数値例

ここでは、$t_{ox}=5$ nm、$W/L=10$、$\mu =400$ cm${}^2$/(V·s) と仮定する。$C_{ox}$ は約 $6.9\times {10}^{-7}$ F/cm${}^2$ である^[2]（本サイトで計算）。

$V_{GS}-V_T=1$ V のとき、$I_D=0.5\times 400\times 6.9\times {10}^{-7}\times 10\times 1$ から、約1.4 mA になる。$V_{GS}-V_T=0.5$ V なら約0.35 mA で、電圧を半分にすると、電流は4分の1になる（本サイトで計算）。

300 Kの熱電圧は、ボルツマン定数と電気素量^[4]から約25.9 mV である。$S=(kT/q)\ln 10$ は、約59.5 mV/桁になる（本サイトで計算）。オフの電流を5桁小さくするには、$m=1$ でも、約0.30 V のゲートの電圧の低下が必要である。

上の移動度、幅と長さ、酸化膜の厚さは、式の読み方を確かめるための仮定の値である。実際のトランジスタの値ではない。