発光と再結合：電子と正孔の積で決まる光の量

電子と正孔が結びついて光を出す割合を表す式から、キャリアの濃度が10倍になると発光が100倍になることと、結びつくまでの時間が短くなることを読む。直接遷移の材料の再結合係数の目安で、桁を確かめる。

式

$R$ は、単位体積あたり、単位時間に光を出して結びつく電子と正孔の対の数である。$n$ は電子の濃度、$p$ は正孔の濃度、$n_i$ は真性キャリア濃度である。$B$ は再結合係数で、材料で決まり、単位は cm${}^3$/s である^[1]。

濃度が十分高いときは、$n_i^2$ の項が無視でき、$R\approx Bnp$ になる。電子の濃度が正孔の濃度よりずっと高い状況では、結びつくまでの平均の時間 $\tau$ は、次の形で表せる。

式のどこを見るか

見るのは、積 $np$ である。光を出して結びつくには、電子と正孔が出会う必要がある。出会う数は、二つの濃度の積に比例する。

$n$ と $p$ が同じ割合で増えるとき（電流を流して注入したときなど）、$R$ は濃度の2乗で増える。濃度が10倍になると、$R$ は100倍になる。

熱の平衡では $np=n_i^2$ となり、$R$ は0になる。式の括弧は、平衡からのずれを表す。外から電子と正孔を注入して、$np$ を $n_i^2$ より大きくしたときだけ、光が出る。

$B$ は、材料で桁が変わる。前のページで読んだ直接遷移の材料では大きく、間接遷移の材料では、光を出す効率が約1,000分の1とされる^[2]。

$\tau$ は、濃度が高いほど短くなる。

数値例

再結合係数 $B$ の桁は、直接遷移の材料で、およそ ${10}^{-10}$ cm${}^3$/s とされる^[1]。ここでは $B={10}^{-10}$ cm${}^3$/s として、式の読み方を確かめる。

$n=p={10}^{17}$ cm${}^{-3}$ のとき、$R\approx Bnp={10}^{-10}\times {10}^{34}={10}^{24}$ cm${}^{-3}$s${}^{-1}$ である。濃度を ${10}^{18}$ cm${}^{-3}$ に10倍にすると、$R$ は ${10}^{26}$ cm${}^{-3}$s${}^{-1}$ で、100倍になる（本サイトで計算）。

電子の濃度が ${10}^{18}$ cm${}^{-3}$ のとき、$\tau =1/(Bn)=1/({10}^{-10}\times {10}^{18})={10}^{-8}$ s で、10 ns（ナノ秒）になる。濃度が ${10}^{16}$ cm${}^{-3}$ なら1 μs、${10}^{19}$ cm${}^{-3}$ なら1 ns になる（本サイトで計算）。

この数値は、桁の目安として置いた値の計算である。実際の材料の値は、材料や温度で異なる。